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2019暨大考研:数学的3个高效解题法

作者:鸿知暨大考研网 来源:jnuyan.com 浏览:1351 次 发布时间:2018/5/30

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数学解题中,不光需要思路,也可以用“套路”来协助。接下来,鸿知暨大考研网www. jnuyan.com就介绍3个高效解题的方法,助力你们的数学考研复习。

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2019暨大考研:数学的3个高效解题法

?结合几何意义记住基本原理

重要的定理主要包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。

因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。

只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,单调性有界性都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

?借助几何意义寻求证明思路

一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。

这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。

再如2005年数学一第18(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)y=1-x[01]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。

从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。

?逆推法

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。

在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=lnx-lna-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。


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